Chỉ còn một ngày nữa, các sĩ tử thủ đô sẽ bước vào cuộc tranh tài đầy cam go để giành lấy suất vào lớp chuyên Toán trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên. Dưới đây là hướng dẫn giải đề thi vòng 1 môn Toán được thực hiện bởi các chuyên gia dày dặn kinh nghiệm.
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Điều kiện để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt là:
$\Delta > 0$ và $a+b+c \neq 0$
Suy ra:
$\begin{cases} (m-3)^2 - 4(m-4) > 0 \\\ m-3 \neq 0 \end{cases}$
Giải hệ bất phương trình ta được:
$\frac{1}{2} < m < 4$
a) Chứng minh rằng $4a^2 + 4ab + b^2 + 2a - 2b + 5 > 0$ với mọi $a, b$.
$4a^2 + 4ab + b^2 + 2a - 2b + 5 = (2a + b)^2 + a^2 - 2b + 5$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
$(2a + b)^2 \geq 0$
$a^2 \geq 0$
$-2b \geq 0$
$5 > 0$
Cộng các bất đẳng thức trên, ta được:
$(2a + b)^2 + a^2 - 2b + 5 > 0$ (đpcm)
b) Giả sử $a, b$ là các số thực dương thỏa mãn $(a+b)^2 = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a}$.
Bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} \geq \frac{(a+b)^2}{a+b} = a+b$
Vì $(a+b)^2 = 1$ nên $a+b=1$. Suy ra $P \geq 1$.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $1$ khi $a=b=\frac{1}{2}$.
Các thí sinh sẽ thi các môn chuyên vào ngày 3/6. Hình thức thi là trắc nghiệm kết hợp với tự luận đối với môn Ngữ văn, tự luận đối với môn Toán (vòng 1) và các môn chuyên. Thời gian làm bài thi môn Ngữ văn và môn Toán (vòng 1) là 120 phút, các môn chuyên là 150 phút.
Năm nay, Trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên có gần 2.800 thí sinh đăng ký dự thi, tổng số nguyện vọng khoảng 3.070. Tỷ lệ chọi vào các lớp chuyên của trường như sau:
* Chuyên Toán: 1/7
* Chuyên Tin học: 1/6,3
* Chuyên Vật lý: 1/5,8
* Chuyên Hóa học: 1/6,6
* Chuyên Sinh học: 1/3,5
Kết quả thi sẽ được công bố trước ngày 25/6 theo tin nhắn đến số điện thoại thí sinh trong hồ sơ đăng ký dự thi và trên trang web tuyển sinh.
Các bạn thí sinh hãy chuẩn bị chu đáo, bình tĩnh bước vào kỳ thi và đạt được kết quả như mong đợi nhé!
Đăng ký VIP Member